wrench-cone-lib
Cette librairie est un outil simple et efficace pour faire le calcul du cone des torseurs en multi-contacts.
Elle permet de calculer les rayons ($\mathcal{V}$-representation) du cône et trouve les demi-plans associés ($\mathcal{H}$-representation) en utilisant un algorithme de double description.
Cette lib est basée sur cdd (en) de Fukuda et son wrapper threadsafe pour Eigen.
La definition du Cône des Torseurs de Contacts (CWC pour Contact Wrench Cone) a été écrite dans ce papier. Je vais ré-expliquer rapidement sa définition et donner plus de détails sur le fonctionnement de la librairie.
Définition
Le torseur des contacts au point $O$ est défini par
\[\begin{equation} \mathbf{w}_O \overset{\text{def}}{=} \begin{bmatrix} \mathbf{f} \\ \mathbf{\tau}_O \end{bmatrix} \overset{\text{def}}{=} \sum\limits_{\text{contact i}} \begin{bmatrix} \mathbf{f}_i \\ \mathbf{r}_i\times\mathbf{f}_i \end{bmatrix} \end{equation}\]avec $\mathbf{f}_i$ la force au contact $i$ et $\mathbf{r}_i = \overrightarrow{OC}$ est le vecteur de translation du point $O$ au contact $C$ dans les coordonnées monde.
Le cone des torseurs de contacts est la représentation polyédrale des contraintes de frottements. Il est calculé via les cônes de frottements propres à chaque point de contact $\mathbf{p}_i$.
Comme expliqué ici, ‘if the CWC exists, the motion may be feasible’ (Si le CWC exists, le mouvement peut être possible).
Fonctionnement de la lib
Il y a seulement deux classes dans cette librairie. ContactSurface caractérise une surface impliquée dans le calcul du CWC. WrenchCone calcule la representation polyédrale du torseur de contact.
Surface de contact
Une surface de contact $S$ dépend de plusieurs variables. Elle doit contenir : ses informations de translation et rotation dans les coordonnées du monde, son coefficient de frottement statique $\mu$, the nombre de génératrices du cône de frottement $N_G$ and le nombre de points $N_p$ lui appartenant.
Par convention, la normale à la surface est l’axe z du repère de la surface.
La linéarisation du cône de frottement est calculée implicitement et dépend des différentes variables de la surface. Pour un cône 3D, $N_G$ devrait être au minimum égal à 3. Plus grand est ce nombre, plus précise sera l’approximation du cône.
La fonction rectangularSurface() (en C++) et rectangular_surface() (en Python) permet de construire de manière simple une surface rectangulaire contenant 4 points (un à chaque coin).
Par défaut, le coefficient de frottement statique est de 0.7 et le nombre de génératrices est de 4.
WrenchCone
La classe WrenchCone a seulement deux fonctions : getRays() et getHalfspaces() (en Python get_rays() et get_halfspaces()).
La première calcule les rayons ($\mathcal{V}$-représentation) du cône des torseurs
La force au contact le long d’une des génératrices du cône de frottement est tout simplement
\[\begin{equation} \mathbf{f}_g = g\lambda \end{equation}\]où $\mathbf{g}$ est une génératrice du cône et $\lambda \geq 0$ est la magnitude de la force. Pour un cône au point de contact $\mathbf{p}_i$, la matrice des torseurs est donnée par
\[G_i= \begin{bmatrix} \mathbf{g}_1 & ... & \mathbf{g}_{N_G} \\ \mathbf{p}_i\times\mathbf{g}_1 & ... & \mathbf{p}_i\times\mathbf{g}_{N_G} \\ \end{bmatrix}\]Pour une surface $S$ à $N_p$ points avec $N_G$ génératrices de cône, la force de contact peut se décomposer en $N_p*N_G$ variables.
\[G^S= \begin{bmatrix} G_1 & ... & G_{N_p} \\ \end{bmatrix}\]En prenant $N_S$ le nombre de surfaces, la $\mathcal{V}$-représentation du cône des torseurs est la concatenation de toutes les surfaces, ainsi, la fonction retourne la matrice
\[\begin{equation} G= \begin{bmatrix} G^1 & ... & G^{N_S} \\ \end{bmatrix} \end{equation}\]Finalement, la seconde méthode renvoie la $\mathcal{H}$-représentation en utilisant la méthode de double description fournie par cdd.
La lib en bref
Option de compilation
Tout d’abord, il est important de savoir qu’il existe une option de compilation appelée PLUCKER_NOTATION si il y a un besoin d’avoir les matrices et vecteurs avec les notations de Plücker.
Le torseur devient alors
Utilisateurs Python
La lib est complètement utilisable depuis Python, donc toutes les fonctionnalités C++ sont aussi en Python.
Les noms des fonctions diffèrent de leur version C++ pour respecter la norme PEP8.
Par example, la fonction getRays() devient get_rays().
J’ai aussi ajouté quelques bindings spécifiques pour faciliter son utilisation en Python.
Lorsqu’une fonction contient un paramètre tel que Eigen::Vector3d, vous pouvez soit passé une liste [1.,2.,3.] soit un numpy array numpy.array([1.,2.,3.]).
La fonction qui a besoin d’un std::vector<Eigen::Vector3d> peut être soit une liste de liste soit une liste de numpy array.
Les numpy matrix ne sont pas bindées car peu utilisées.